题型一　定点问题

例1　已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足\s\up6(→(→)＝λ1\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)＝λ2\s\up6(→(→).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点，并求此定点．

解　(1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，

且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.

∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，

N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，

由\s\up6(→(→)＝λ1\s\up6(→(→)知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，

∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.

同理由\s\up6(→(→)＝λ2\s\up6(→(→)知λ2＝－1.

∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①

联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，

∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②

且有y1＋y2＝，y1y2＝，③

③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，

∴(mt)2＝1，

由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，

得直线l的方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．

思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．

跟踪训练1　(2018·聊城模拟)已知圆x2＋y2＝4经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点和两个顶点，点A(0，4)，M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在