【自主解答】 法一 ∵a,b,c是正数,
∴b2c2+c2a2≥2abc2,b2c2+a2b2≥2ab2c,c2a2+a2b2≥2a2bc,
∴2(b2c2+c2a2+a2b2)≥2(abc2+ab2c+a2bc),
即b2c2+c2a2+a2b2≥abc(a+b+c).
又a+b+c>0,
∴≥abc.
法二 ∵a,b,c是正数,
∴+≥2=2c.
同理+≥2a,+≥2b,
∴2≥2(a+b+c).
又a>0, b>0,c>0,
∴b2c2+a2c2+a2b2≥abc(a+b+c).
故≥abc.
1.综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系,合理进行转换,恰当选择已知不等式(切入点),这是证明的关键.
2.综合法证明不等式的主要依据:(1)不等式的基本性质;(2)基本不等式及其变形;(3)三个正数的算术几何平均不等式等.
[再练一题]
1.已知a>0,b>0,c>0,且abc=2.
求证:(1+a)(1+b)(1+c)>8.
【证明】 ∵a>0,b>0,c>0,
∴1+a≥2,当且仅当a=1时,取等号,
1+b≥2,当且仅当b=1时,取等号,