2.3　充要条件

[学习目标]　1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.

知识点一　充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p 就记作p⇔q.

此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.

思考　(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？

(2)"p是q的充要条件"与"p的充要条件是q"的区别在哪里？

答案　(1)正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.

知识点二　常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为"若p，则q"，逆命题为"若q，则p"，那么p与q的关系有以下四种情形：

原命题 逆命题 p与q的关系 真 真 p是q的充要条件

q是p的充要条件 真 假 p是q的充分不必要条件

q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件

q是p的充分不必要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件

q是p的既不充分也不必要条件

知识点三　从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件