题型三：利用图形的旋转求面积

例7.如图，已知中，，

点D、E、F分别在AB、AC、BＣ上，

四边形CFDE是正方形,若AD=3,BD=4，

则和的面积之和为　　　.

解析:该题常采用的思路是利用，计算出直角三角形的两条直角边的长度和正方形的边长，然后利用大三角形的面积减去正方形的面积，即可求得两个三角形的面积之和，但计算量较大。

若对于此题运用图形旋转的思想来解，会给我们耳目一新的感觉。

如图，把绕点Ｄ旋转，这时DE与DF重合.

∵，，

∴，又AD=3,BD=4，

∴

即两个三角形的面积之和等于6.

例８.如图,P是正方形ABCD内一点，

点P到正方形的三个顶点A、B、C

的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3，

正方形ABCD面积为　　　.

解析:该题一般的思路是利用三角形的性质计算得到正方形的边长，但受限于初中的数学知识，很难继续运算下去，故考虑用图形旋转的思想来解。

如图，把绕点Ａ逆时针旋转,

　　　把绕点Ｃ顺时针旋转,

易证，△EAP与△PCF均为等腰直角三角形.

∴，

∵，.

又∵，

∴

∴点Ｄ、Ｅ、Ｆ在同一条直线上.

∴.

在△EFD中，，，.

∵, ∴，即△EPF为直角三角形.

∴

思考题：如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC，

AB⊥BC,AD=2,BC=3，将腰CD以D为中心，

逆时针旋转90°至ED，连结AE、CE，则

△ADE的面积是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

题型四：利用图形的旋转探索图形中线段之间的关系

例9.如图，正方形ABCD边上有动点E、F，

的周长等于正方形ABCD周长的一半，

探索：的度数是否随点E、F位置的变

化而改变，如果有变化，请找出变化的规律；

若不变，请求出的度数的大小。

解析:由的周长等于正方形ABCD的一半，

可以得到AF+CE＝EF，这与的度数似乎无联系。

此时把绕点B逆时针旋转,如图，

∵BC=BA,,

∴点G、A、F、D在同一条直线上.

∵GF=GA+AF=CE+AF=EF,BG=BE,BF=BF,

∴,∴.

又,

∴

例10.如图,已知△ABC中AB=AC,,∠EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：

⑴AE=CF;

⑵∠APE=∠CPF;

⑶△EPF是等腰直角三角形;

⑷EF=BE+CP;

⑸S四边形AEPF=S△ABC，

当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)上述结论

中始终正确的序号有 .

解析：如图，把绕点Ａ逆时针旋转,

可得，即

∴AE=CF，PE=PF，∠APE=∠CPF，

∴①②③正确.

∵

∴S四边形AEPF= S△PAE+ S△PAF= S△PCF+ S△PAF= S△PAC=S△ABC

∴⑤正确.

∵等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出EF，

∴EF随着点E的变化而变化，判定④错误，

思考题:如图, ΔABC是边长为5的等边三角形，

ΔBDC是等腰三角形,且,以点D

为顶点作一个的角，使其两边分别交AB、

AC于点M、N，则ΔAMN的周长为 .

题型五：利用

例11.在边长为2的正方形ABCD内求一点P，

使得PA+PB+PC之和为最小.并求这个最小值．

解析:将△BPC顺时针旋转，得为等边△PBE．

∴PE＝PB，EF＝PC

即 PA+PB+PC＝AP+PE+EF。

要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，

即PA+PB+PC≥AF．

BM=BF•cos30°=BC•cos30°=,

则AM=，

∵AB=BF，∠ABF=150°，∴∠BAF=15°.

∴AF=AM·cos15°=.

即PA+PB+PC的最小值为

例12.已知中,,,，

O为内一点,且，

则

解析: 将△BOC顺时针旋转，得为等边△PDE．

∴OD＝OB，DE＝OC

又，

∴

即A、O、D、E四点在一条直线上.

∴.

∵中, ,，

∴，又.

∴

又∵，，

∴

即.

思考题:(2012济南)如图，∠MON=90°，

矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，

ON上，当B在边ON上运动时，A随之