要点五：数乘向量

1.向量数乘的定义

实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：

(1)；

(2)①当时，的方向与的方向相同；

②当时.的方向与的方向相反；

③当时，.

2．向量数乘的几何意义

由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．

3.向量数乘的运算律

设为实数

结合律：；

分配律：，

要点六：向量共线的条件

1．向量共线的条件

（1）当向量时，与任一向量共线．

（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．

反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．

2．向量共线的判定定理

是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．

3．向量共线的性质定理

若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．

要点诠释：