令 g(x)=ax^3-lnx，gʹ(x)=3ax^2-1/x=(3ax^3-1)/x

① a⩽-1，对任意 x∈(0,1]，gʹ(x)=(3ax^3-1)/x<0，g(x) 在 (0,1] 上递减，

g(x)_min=g(1)=a⩽-1，此时 g(x)∈[a,+∞),∣g(x)∣ 的最小值为 0，不合适题意．

② 当 a⩾1 时，对任意 x∈(0,1]，gʹ(x)=(3ax^3-1)/x=0⇒x=∛(1/3a)，

∣g(x)∣ 的最小值为 g(∛(1/3a))=1/3+1/3 ln(3a)⩾1，

解得：a⩾e^2/3．

故所求 a⩾( e^2)/3．

3. 函数 f(x)=x^3-3x^2+2 在区间 [-1,1] 上的最大值为 ．

【答案】 2

4. f(x)=x^3-3x^2+2 在区间上 [-1,1] 上 的最大值是 (  )．

【答案】 2

5. 已知函数 p(x)=lnx+1，q(x)=e^x，若 q(x_1 )=p(x_2 ) 成立，则 x_2-x_1 的最小值为 ．

【答案】 1

【分析】 设 q(x_1 )=p(x_2 )=y，则 x_1=lny，x_2=e^((y-1) )，所以 x_2-x_1=e^(y-1)-lny．

设 F(y)=e^(y-1)-lny，则 Fʹ(y)=e^(y-1)-1/y=0，所以 e^(y-1)=1/y，解出 y=1，

此时，F(y) 取得最小值 F(y)_min=1．

6. 函数 f(x)=x+2cosx 在 (0,π/2] 上取得最大值时，x 的值是 ．

【答案】 π/6

【分析】 令 fʹ(x)=1-2sinx=0，得 sinx=1/2．

因为 x∈(0,π/2]，

所以 x=π/6 唯一 极值点，且为极大值点．

7. 函数 f(x)=1/2 x-sinx 在区间 [0,π] 上的最小值为 ．

【答案】 (π-3√3)/6