(ii)由an+1=an(an-n)+1及(i),对k≥2,有

ak=ak-1(ak-1-k+1)+1≥ak-1(k-1+2-k+1)+1=2ak-1+1,

......

ak≥2k-1a1+2k-2+...+2+1=2k-1(a1+1)-1,

于是≤·,k≥2.

≤+=≤=.

【例5】求证：+2+3+...+n=n·2n-1.

思路分析：这是一个有关组合数的问题,它的明显特征是每个组合数的系数与组合数的上标相同,同时它又是一个正整数命题,这就决定了它的证明方法的多样性.

证法一:（1）当n=1时,左边=C11=1=20=右边,等式成立;

（2）假设n=k时等式成立,即+2+3+...+k=k·2k-1,

∴当n=k+1时,左边=+2+...+k+(k+1)

=++2(+)+...+k(+)+(k+1)

=(++...+)+2(+2+...+k)

=2k+2·k·2k-1

=(k+1)·2k=右边,等式也成立;

由(1)(2)知等式对n∈N*都成立.

证法二:f(n)=0++2+3+...+n,①

f(n)=n+(n-1)+...++0,②

由①+②得:2f(n)=n(++2+3+...+n)=n·2n,

∴f(n)=n·2n-1.

【例6】自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1＞0.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与成正比,这些比例系数依次为正常数a,b,c.

(1)求xn+1与xn的关系式;

(2)猜测:当且仅当x1,a,b,c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)

(3)设a＝2,b＝1,为保证对任意x1∈(0,2),都有xn＞0,n∈N*,则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

思路分析：实际应用问题要建模,本题的模型为数列模型.然后研究前几项来猜想结论什么时候成立,再运用数学归纳法证明.