S′(x)＝8－6x2.令S′＝0，

　　解得x1＝，x2＝－(舍去)．

　　当00；当

　　所以，当x＝时，S(x)取得最大值，此时S(x)最大值＝.

　　即矩形的长和宽分别为，时，矩形的面积最大.

用料、费用最少问题 　　

　　[典例]　已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？

　　[解]　设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.

　　∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.

　　设全程燃料费为y元，

　　由题意，得y＝y1·＝，

　　∴y′＝＝.

　　令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.

　　∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y为减函数；

　　v∈(16，v0]，y′＞0，即y为增函数，

　　故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省；

　　当v0＜16时，v∈(8，v0]，y′＜0，即y在(8，v0]上为减函数，

　　故当v＝v0时，ymin＝，此时全程燃料费最省．

　　综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元．

用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关．解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．