2019-2020学年北师大版选修2-2 反证法 学案

题型一　用反证法证明结论否定的问题

例1　如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.

证明　连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，∴∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.

∵四边形ACBD为圆的内接四边形，

∴∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，

∴∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，

∴对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，

∴AB，CD不能互相平分.

反思与感悟　对于结论否定型命题，正面证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有"不可能""都不""没有"等否定性词语时，宜采用反证法证明.

跟踪训练1　已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.

证明　假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.

左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾.

∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.

题型二　用反证法证明唯一性问题

例2　用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.

证明　假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a，又b∥a，由平行公理知b′∥b.