例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．

解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)

＝a2(a－b)＋b2(b－a)

＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．

当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；

当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.

综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.

引申探究

1．若a＞0，b＞0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？

解　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3

＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)

＝(a2－b2)(a3－b3)

＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．

∵a＞0，b＞0，

∴(a－b)2≥0，a＋b＞0，a2＋ab＋b2＞0.

∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.

2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？

解　若a＞0，b＞0，n＞r，n，r∈N*，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr.

反思感悟　比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．

跟踪训练2　已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．

解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1

＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2

＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，

又∵2＋＞0，x－1<0，

∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.