由此可见，证明向量a∥b，只需找到满足a=λb的实数λ的一个值即可.

（2）判定定理的结论是a∥b，则有当=a，=b时，有O、A、B三点共线，即用平行向量基本定理可以证明三点共线.

例如：设=a，=b，=（a+b）,求证：A、B、C三点共线.

证明：由题意得=b-a.

=-=（a+b）-b=（a-b）,

∴=.∴∥.

∴A、B、C三点共线.

由此可见，三点共线问题通常转化为向量共线问题.

（3）判定定理的结论是a∥b，当a和b所在的直线分别是直线m和n时，则有直线m、n平行或重合,即用平行向量基本定理可以证明两直线平行.

例如：如图2-3-1，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，并且AD=xAB，AE=xAC,0＜x＜1.

图2-3-1

求证：DE∥BC且DE=xBC.

证明：∵AD=xAB，AE=xAC，

∴=x，=x.

∴=-=x(-)=x.

∴∥.

∴DE∥BC且DE=xBC.

由此可见，证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.

（4）性质定理的结论是a=λb，则有|a|=|λ|·|b|，当=a，=b时，||=|λ|·||，从而OA=λOB,即用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长度关系.

例如：如图2-3-2，平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于E.

图2-3-2