利用数学归纳法比较大小 　　

　　[例2]　设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．

　　[思路点拨]　本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．

　　[精解详析]　(1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.

　　(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．

　　①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn>Qn.

　　②若x＝0，则Pn＝Qn.

　　③若x∈(－1,0)，

　　则P3－Q3＝x3<0，所以P3

　　P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)<0，所以P4

　　假设Pk

　　则Pk＋1＝(1＋x)Pk<(1＋x)Qk＝Qk＋xQk

　　＝1＋kx＋＋x＋kx2＋

　　＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3

　　＝Qk＋1＋x3

　　即当n＝k＋1时，不等式成立．

　　所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn

　　(1)利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．

　　(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾"n"，而忽视其他变量(参数)的作用．

　　2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N＋)．若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)<1，证明：对任意n∈N＋，an＋1

　　证明：因为g(x)＝f－1(x)，所以an＝g(bn＋1)＝f－1(bn＋1)，即bn＋1＝f(an)．

下面用数学归纳法证明an＋1