典例 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 D
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以运用点差法,
所以直线AB的斜率为k=,
设直线方程为y=(x-3),
联立直线与椭圆的方程得
(a2+b2)x2-6b2x+9b2-a4=0,
所以x1+x2==2,
又因为a2-b2=9,解得b2=9,a2=18.
命题点3 椭圆与向量等知识的综合
典例 (2017·沈阳质检)已知椭圆C:+=1(a>b>0),e=,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,线段AB的中点横坐标为,且\s\up6(→(→)=λ\s\up6(→(→)(其中λ>1).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求实数λ的值.
解 (1)由椭圆的焦距为2,知c=1,又e=,∴a=2,
故b2=a2-c2=3,
∴椭圆C的标准方程为+=1.
(2)由\s\up6(→(→)=λ\s\up6(→(→),可知A,B,F三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2).
若直线AB⊥x轴,则x1=x2=1,不符合题意;