2　空间向量易错点扫描

易错点1　对向量夹角与数量积的关系理解不清

例1　"a·b<0"是"〈a，b〉为钝角"的________条件．

错解　a·b<0⇔cos〈a，b〉＝<0⇔〈a，b〉为钝角，所以"a·b<0"是"〈a，b〉为钝角"的充要条件．

错因分析　错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．

剖析　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以"a·b<0"是"〈a，b〉为钝角"的必要不充分条件．

正解　必要不充分

总结　a·b<0⇔a与b夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0⇔a与b夹角为锐角或a与b方向相同．

易错点2　忽略两向量的夹角的定义

例2　如图所示，在120°的二面角α-AB-β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．

错解　∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，

∵二面角α-AB-β的平面角为120°，∴〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝120°.

∴CD2＝\s\up6(→(→)2＝(\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→))2

＝\s\up6(→(→)2＋\s\up6(→(→)2＋\s\up6(→(→)2＋2\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＋2\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＋2\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD＝6.

错因分析　错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念．向量\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)的夹角与二面角α-AB-β的平面角互补，而不是相等．

正解　∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，

∵二面角α-AB-β的平面角为120°，

∴〈\s\up6(→(→)，\s\up6(→(→)〉＝180°－120°＝60°.