cos ∠BA′C＝＝.

平面与圆柱面的截线 　　

　　[例2]　如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2.

　　求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦点的椭圆．

　　[思路点拨]　证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．

　　[证明]　如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点为F1、F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1、K2，则PK1、PK2分别是两球面的切线，切点为K1、K2.

　　根据切线长定理的空间推广 ，

　　知PF1＝PK1，PF2＝PK2，

　　所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2.

　　由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．

　　(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．

　　(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)．

　　4．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．

　　解析：由2a＝6，即a＝3，又e＝cos 45°＝，

　　故b＝c＝ea＝×3＝，即为圆柱面的半径．

　　答案：

　　5．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率．

　　解：由题意可知椭圆的短轴为2b＝2×2，

∴短轴长为4.