2019-2020学年苏教版选修1-1 导数在实际生活中的应用 学案
2019-2020学年苏教版选修1-1  导数在实际生活中的应用   学案第3页

当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为=32(米).

探究点二 利润最大问题

例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(单位:cm)是瓶子的半径.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是

y=f(r)=0.2×πr3-0.8πr2

=0.8π,0

令f′(r)=0.8π(r2-2r)=0.

当r=2时,f′(r)=0.

当r∈(0,2)时,f′(r)<0;

当r∈(2,6)时,f′(r)>0.

因此,当半径r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高;半径r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低.

∴半径为2 cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值.

半径为6 cm时,利润最大.

反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有:

(1)利润=收入-成本;

(2)利润=每件产品的利润×销售件数.

跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3

(1)求a的值;

(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

解 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,

所以a=2.