过双曲线上的一点（考虑对称性，不妨设是第一象限内的点）作平行于轴的直线，设它与直线相交于点，（见上图）

　　则，

　　当时，随着的增大而增大，从而越来越接近于．

　　这说明，当点以双曲线的顶点开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点时，点和直线就越来越接近，而且，故双曲线始终在直线的下方，且与直线越来越接近，不会相交．

　　其它象限内的情况与此类似．

　　2．双曲线的开口大小：

　　渐近线的斜率的绝对值，因此越大，也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．

　　3．画双曲线的草图时，一般都是先画出以为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图．

　　4．求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程．对于双曲线，它的渐近线方程即为，即直线．