则P(A1B1)=,P(A1)=,P(B1)=.

若=·,即P(A1B1)=P(A1)P(B1),则A1、B1相互独立.

同理,若=·,则A1、B2相互独立.

若=·,则A2、B1相互独立.若=·,则A2、B2相互独立.

但是,,等表示的是频率,不同于概率.即使变量之间相互独立,式子两边也不一定恰好相等,但是当两边相差很大时,变量之间就不独立,即|·|很大时,变量之间不独立.同理,|·|,|·|,|·|很大时,变量之间也不独立.可用χ2=n［+++

］=的大小来检验变量之间是否独立.

检验结果标准为:

(1)当χ2≤2.706时,变量A、B没有关联.

(2)当χ2>2.706时,有90%的把握判定变量A、B有关联.

(3)当χ2>3.841时,有95%的把握判定变量A、B有关联.

(4)当χ2>6.635时,有99%的把握判定变量A、B有关联.

讲练互动

【例1】对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示:

又发作过心脏病 未发作心脏病 合计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 合计 68 324 392 试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别.

分析:从所给的列联表中可知病人有两种类型:做过心脏搭桥手术和做过血管清障手术,每种类型又有两种情况:又发作心脏病和未发作心脏病.问题是用表中所给出的数据来检验上述两种状态是否有关系,这是一个独立性检验问题,解决的方法是先计算随机变量χ2的观测值k,用k的大小来决定是否又发作心脏病与心脏搭桥手术有关还是无关.

解:假设做过心脏搭桥手术与又发作心脏病没有关系.

由于a=39,b=157,c=29,d=167,a+b=196,c+d=196,a+c=68,b+d=324,n=392,由公式可得χ2的观测值为