第二讲常用逻辑用语（二）

§3　全称量词与存在量词

　　1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)

　　2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点)

　　3.能判断含一个量词的命题的真假.(易混点)

知识点

"所有""每一个""任何""任意一条""一切"都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.

考点一全称命题、特称命题及其真假判断

例1.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假.

①对任意实数x，都有x2＋1＞0；②存在一个自然数小于1；

③菱形的对角线相等；④至少有一个实数x，使sin x＋cos x＝.

名师指津

1.判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词.需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写.

2.要判断全称命题"对任意x∈M，p(x)成立"是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立.但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可.

3.要判断特称命题"存在x∈M，使p(x)成立"是真命题，只要在集合M中能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，否则，这一命题就是假命题.

考点二全称命题与特称命题的否定

例2.写出下列命题的否定：

(1)对任意实数x，都有x3＞x2；

(2)至少有一个二次函数没有零点.

名师指津

1.弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提.

2.全(特)称命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把判断词否定.

练习1.写出下列命题的否定：

(1)所有的菱形都是平行四边形；

(2)存在x∈R，使x2＋2x＋3≤0.

考点三含量词的命题的应用