变式训练

2.已知双曲线=1(a>0,b>0),F1,F2为双曲线的左,右焦点,点P在双曲线上运动时,求|PF1||PF2|的最小值.

答案:设P点的横坐标为x0,则x02≥a2.由圆锥曲线的共同特征,知|PF1|=|x0+ |e=|a+ex0|,|PF2|=e|x0-|=|ex0-a|,

所以|PF1||PF2|=|ex0-a||ex0+a|=|x02-a2|.

因为c2≥a2,x02≥a2,

所以x02≥a2.

所以|PF1||PF2|=x02-a2≥×a2-a2=c2-a2=b2,

即|PF1||PF2|的最小值为b2.

【例3】点M(x,y)与定点(3,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求点M的轨迹.

解析:由圆锥曲线的共同特征可知,M点的轨迹为椭圆,但方程是否为标准方程需分析讨论来确定.

答案:由题设及圆锥曲线的共同特征,知M点的轨迹是椭圆,且右焦点F(3,0),相应的右准线l:x=,

所以-c=-3=,且=.

由

解得c=3,a=5.

因为c=3且F(3,0),所以椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,

故方程为=1(a>b>0),

由a=5,c=3,得b=4,