不等式证明一（比较法）

　　比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。比较法分为：作差法和作商法

一、作差法：若a，b∈R，则： a－b＞0a＞b；a－b＝0a＝b；a－b＜0a＜b

它的三个步骤：作差--变形--判断符号（与零的大小）--结论.

　　作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左-右的符号，从而降低了问题的难度。作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.

例1、求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3)  3x = ， ∴x2 + 3 > 3x

例2：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

证： ，∵a,b,m都是正数，并且a

∴b + m > 0 , b  a > 0∴ 即：

变式：若a > b，结果会怎样？若没有"a < b"这个条件，应如何判断？

例3：已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

证：(a5 + b5 )  (a2b3 + a3b2) = ( a5  a3b2) + (b5  a2b3 )

= a3 (a2  b2 )  b3 (a2  b2) = (a2  b2 ) (a3  b3)

= (a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0，又∵a  b，∴(a  b)2 > 0

∴(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2) > 0，即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

例4：甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m  n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S，甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，

则： 可得：