2019-2020学年人教A版必修二 两条直线的位置关系 学案

典例精析

题型一　两直线的交点

【例1】若三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能构成三角形，求a的值.

【解析】①l3∥l1时，－a＝－2⇒a＝2；

②l3∥l2时，－a＝3⇒a＝－3；

③由⇒将(－1，－1)代入ax＋y＝0⇒a＝－1.

综上，a＝－1或a＝2或a＝－3时，l1、l2、l3不能构成三角形.

【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.

【变式训练1】已知两条直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是　　　　　　　.

【解析】由P(2, 3)为l1和l2的交点得

故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程2x＋3y＋1＝0，

即直线2x＋3y＋1＝0必过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点.

题型二　两直线位置关系的判断

【例2】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.

【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，

所以k2＝1－a，若k2＝0，则1－a＝0，即a＝1.

因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0，

又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，

而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.

因为k2≠0，即k1，k2都存在，

因为k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即(1－a)＝－1，

又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，

联立上述两个方程可解得a＝2，b＝2.

(2)因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即＝(1－a)，

因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

所以 l1，l2在y轴的截距互为相反数，即＝b，

联立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2，