二、计算天体的质量

　　1．中心天体质量计算的公式

　　应用万有引力定律还可以计算太阳等中心天体的质量。思考这个问题的出发点是：行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可以列出方程，从中解出中心天体的质量。

　　设M是太阳的质量，m是某个行星的质量，r是行星与太阳之间的距离，ω是行星公转的角速度。

　　根据万有引力提供行星绕太阳运动的向心力，有：

　　F＝

　　行星的质量m在方程两侧被消去，所以只能求出中心天体的质量。将万有引力和右侧向心加速度的不同表达式联立，得到中心天体质量的计算公式为

　　测出行星的公转周期T和它与太阳的距离r等，就可以算出太阳的质量。

　　根据已知条件的不同，应选择不同的计算公式来计算中心天体的质量。对同一个中心天体，M是一个定值。所以

　　即在开普勒第三定律中，k是由中心天体质量M决定的常量。

　　同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，也可以算出行星的质量。目前，观测人造卫星的运动，是测量地球质量的重要方法之一。

　　【课堂练习】地球质量的计算

　　已知月球到地球的球心距离为r＝4×108m，月亮绕地球运行的周期为30天，求地球的质量。

　　解：月球绕地球运行的向心力，由月地间的万有引力提供，即有：

　　F＝

　　得：

　　太阳质量和地球质量的数量级希望同学们能记住，在今后判断有关问题时可使用。

　　2．天体平均密度的计算

　　利用环绕中心天体表面运行的行星或卫星，可以计算中心天体的平均密度。

　　设中心天体的半径为R，平均密度为ρ，中心天体表面的重力加速度为g。行星或卫星的质量为m，轨道半径为r，线速度为v，角速度为ω，T为行星或卫星的周期。当行星或卫星环绕中心天体表面运行时，轨道半径r近似认为与中心天体的半径R相等。根据万有引力提供向心力有

由上式可得中心天体平均密度的计算公式为