§2 导数的概念及其几何意义

2.1 导数的概念

自主整理

函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变为f(x1),函数值y关于x的平均变化率为.当x1趋于x0时,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个______________,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的______________,在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的______________,通常用符号f′(x0)表示,记作______________.

高手笔记

1.在定义导数的极限式中,Δx趋近于0,它可正、可负,但不为0,而Δy可能为0.

2.导数f′(x0)=是函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率,它反映的是函数y=f(x)在点x0处变化的快慢程度.

3.在定义式中,设x=x0+Δx,则Δx=x-x0.当Δx趋近于0时,x趋近于x0,因此,导数的定义式可写成f′(x0)==.

名师解惑

1.求解导数时,函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在,即若极限不存在,则称函数y=f(x)在点x0处没有导数.

2.导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.

3.在初中,我们学习的运动是匀速直线运动,高中以后,我们学习匀加速运动,但是瞬时速度的概念很难理解,物理书上对瞬时速度的解释只给出了直观性描述,而这里是由物体在一段时间的平均速度的极限定义来定义瞬时速度的.

4.导数的概念是从大量的具体问题,例如物体运动的瞬时速度、曲线的切线斜率、比热、密度、加速度、压强、功率等实际问题中抽象出来的,是微积分学中的核心概念之一.所以我们对导数概念的理解是从实际问题中体会出来的,这是我们为什么要学习平均变化率、瞬时速度、瞬时加速度与切线的斜率的原因.

5.在不引起混淆时,导函数f′(x)也称为f(x)的导数,|是f(x)在x=x0求导数值的另一种写法.

讲练互动

【例1】设函数f(x)在点x0处可导,求f(x)在点x0处导数的值.

(1);

(2).