≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1

　　≥k＋3＝(k＋1)＋2，

　　也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.

　　综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋2.

　　②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，对k≥2，有

　　ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1

　　＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1

　　≥23ak－3＋22＋2＋1≥...

　　∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋...＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1

　　＝2k－1(a1＋1)－1，

　　于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，k≥2.

　　∴＋＋...＋

　　≤＋

　　＝

　　＝·<≤＝.

　　因此，原不等式成立.

利用数学归纳法证明不等式的常用技巧 　　

　　在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设"P(k)成立"是问题的条件，而"命题P(k＋1)成立"就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．

　　1．分析综合法

　　用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从"P(k)"到"P(k＋1)"，常常可用分析综合法．

　　[例2]　求证：

　　＋＋...＋<，n∈N＋.

[证明]　(1)当n＝1时，因为＝<1，所以原不等式成立．