=［1+(++...+)］2,①

又由调和平均数≤算术平均数知

∴++...+≥n2，代入①式即得.

变式提升2

a、b、c、d∈R，且

求证：1≤a≤2.

证明:(b+c+d)2=()2≤［(b)2+(c)2+(d)2］［()2+()2+()2］

=(2b2+3c2+6d2)(+)

=2b2+3c2+6d2,

而b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,

∴(3-a)2≤5-a2,解得1≤a≤2.

三、利用柯西不等式解决其他问题

【例3】 （1）第七届美国数学奥林匹克试题 设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.

解析：

由已知得a+b+c+d=8-e，a2+b2+c2+d2=16-e2，

所以(8-e)2=(a+b+c+d)2

≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)

=4(16-e2),

化简得5e2-16e≤00≤e≤,

所以emax=.

（2）求实数x,y,z,使它们同时满足2x+3y+z=13...(1),4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82...(2).

解析：可令x1=2x,x2=3y+3,x3=z+2,则x1+x2+x3＝18且x12+x22+x32＝108，由此及柯西不等式得182=(x1+x2+x3)2

≤(x12+x22+x32)2（12+12+12）=108×3,

上式等号成立其充要条件是