探究点一　复数加减法的运算

思考1　我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？

答　仍然是个复数，且是一个确定的复数．

思考2　复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．

答　实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．

(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.

思考3　实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．

答　满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.

结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，

显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

例1　计算：

(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；

(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．

解　(1)原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.

(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)

＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.

反思与感悟　复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．

跟踪训练1　计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；

(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．

解　(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.

(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.

探究点二　复数加减法的几何意义

思考1　复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？