＝1＋1＋＝2＋，从而得f(ξi)Δx＝(2＋)·＝

＝·n＋0＋1＋2＋...＋(n－1)]

＝2＋·＝2＋.

(3)取极限：S＝ ＝2＋＝.

因此ʃ(1＋x)dx＝.

探究点二　定积分的几何意义

思考1　从几何上看，如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃf(x)dx表示什么？

答　当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a

思考2 　当f(x)在区间a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，ʃf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？

答　如果在区间a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．

由于>0，f(ξi)≤0，故

f(ξi)≤0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.

当f(x)在区间a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.

例2　利用几何意义计算下列定积分：

(1)ʃdx；(2)ʃ(3x＋1)dx.