斜线,OA是PA在a内的射影,aa,且

　　a⊥OA,则a⊥PA.

　　②三垂线定理的逆定理的符号描述

　如上图,PO、PA分别是平面a的垂线、斜线,

　OA是PA在a内的射影,aa,且a⊥PA,则a⊥OA.

　　关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明a⊥b的一个程序:一垂、二射、三证,即:第一:找平面及平面的垂线;第二:找射影线(或斜线),这时a,b便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影);第三:证明射影(或斜线)与直线a垂直,从而得出a,b垂直.

典型例题分析

题型1 求平面的法向量

【例1】已知平面a经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面a的一个法向量.

　解析 用待定系数法求解平面a的法向量.

　答案 因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),所以=(1,-2,-4),=(2,-4,-3).设平面a的法向量为n=(x,y, ),依题意,应有n·=0,n·=0,即有解得令y=1,则x=2,所以平面a的一个法向量为n=(2,1,0

　　方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数解取其中的一个解即可,但要注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量.

　　【变式训练1】 已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的一个单位法向量

答案 因为A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),所以=(-3,4,0),=(-3,0,5).设平面ABC的法向量为n=（x,y, )依题意，应有n·=0,n·=0,即有解得,即平面A的法向量为n(x，x,x),所以平面ABC的单位向量为n0==(