1．用数列归纳法证明：当n∈N*时，

　　－1＋3－5＋ ... ＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n·n.

　　证明：(1)当n＝1时，左边＝－1，右边＝－1，

　　所以左边＝右边，等式成立．

　　(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N*)时等式成立，

　　即－1＋3－5＋ ... ＋(－1)k(2k－1)＝(－1)k·k.

　　那么当n＝k＋1时，

　　－1＋3－5＋ ... ＋(－1)k(2k－1)＋(－1)k＋1·(2k＋1)

　　＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)

　　＝(－1)k＋1(－k)＋(－1)k＋1(2k＋1)

　　＝(－1)k＋1(2k＋1－k)

　　＝(－1)k＋1(k＋1)

　　这就是说n＝k＋1时等式也成立，

　　由(1)(2)可知，对任何n∈N*等式都成立．

　　2．用数学归纳法证明：

　　12－22＋32－42＋...＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．

　　证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，

　　所以左边＝右边，等式成立．

　　(2)假设当n＝k时等式成立，

　　即12－22＋32－42＋...＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立．

　　则当n＝k＋1时，

　　左边＝12－22＋32－42＋...＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2

　　＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2

＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2