1.设曲线C1和C2的方程分别为F1(x,y)=0和F2(x,y)=0,则点P(a,b)(C1∩C2)的一个充分条件是________________.

解析:P点不在C1与C2中至少一条曲线上,或C1∩C2=.

答案:F1(a,b)≠0〔或F2(a,b)≠0或F1(a,b)≠0且F2(a,b)≠0或C1∩C2=等〕(答案不唯一)

【例2】若p:ABS,q:(B)(A),则p是q的什么条件?

解析:与集合有关的问题可用韦恩图分析说明.

图1-2-2

答案:利用集合的图示法,如图122,ABS(B)(A),(B)(A)ABS.

∴p是q的充分条件,也是必要条件,即p与q互为充要条件.

绿色通道

本题采用的是从条件直接推结论的方法,其中突出了数形结合的数学思想方法(图示法).

变式训练

2.已知p是q的充分条件,r是q的必要条件,s是r的必要条件,那么s是p的什么条件?

答案:由题意可知:pq,rq,sr,所以ps,

即s是p的必要条件.

【例3】求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m≥2.

解析:本题的条件是p:m≥2,结论是q:方程x2+mx+1=0有两个负实根,然后要明确充分性的证明是pq,必要性的证明是qp.

证明:(1)充分性:因为m≥2,所以Δ=m2-4≥0.所以x2+mx+1=0有实根,两根设为x1、x2,由韦达定理,知x1x2=1>0,所以x1与x2同号.又x1+x2=-m≤-2<0,所以x1、x2同为负实数,即x2+mx+1=0有两个负实根的充分条件是m≥2.

(2)必要性:因为x2+mx+1=0有两个负实根x1和x2,且x1x2=1,所以m-2=-(x1+x2)-2=-(x1+)-2=≥0.故m≥2,即x2+mx+1=0有两负实根的必要条件是m≥2.

综上,m≥2是x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件.

绿色通道

本题关键是分清命题的条件p,结论q分别表示什么,且分清"充分条件"和"必要条件"的不同.

变式训练

3.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.

答案:(1)a=0时适合.

(2)当a≠0时,显然方程没有零根,若方程有两异号的实根,则a<0;若方程有两个负的实根,则必须满足