2019-2020学年北师大版选修2-3 正态分布 教案

典例精析

题型一　研究正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

【例1】 某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体位于区间[－4，－2]的概率.

【解析】由正态曲线的密度函数是偶函数知μ＝0，由最大值为知σ＝2，

所以P(－2≤x≤2)＝P(μ－σ≤x≤μ＋σ)＝0.682 6，

P(－4≤x≤4)＝P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.954 4，

所以P(－4≤x≤－2)＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.

【点拨】应当熟记：

P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6；

P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4.

【变式训练1】设X~N(1,22)，试求：

(1)P(－1＜X≤3)；

(2)P(X≥5).

【解析】因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.

(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.

(2)因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，

＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]

＝(1－0.954 4)＝0.022 8.

题型二　利用正态总体密度函数估计某区间的概率

【例2】 已知某地区数学考试的成绩X~N(60,82)(单位：分)，此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约有多少人？

【解析】由题意μ＝60，σ＝8，

因为P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，

所以P(52＜X≤68)＝0.682 6，

又此正态曲线关于x＝60对称，

从而估计在60分到68分之间约有341 3人.

【点拨】本题是教材变式题，将原题中单纯(μ－σ，μ＋σ)的概率考查结合了正态曲线的对称性以及概率的意义，使题目更具实际意义.另外，还可将问题变为(44,76)、(68,76)等区