由(1)，(2)可知命题得证．

利用数学归纳法证明整除问题 　　[例2]　用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数n，都能被17整除．

　　[思路点拨]　证明整除性问题的关键是在命题f(k＋1)中拼凑出f(k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了．

　　[精解详析]　(1)当n＝1时，

　　f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，

　　f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除．

　　则当n＝k＋1时，

　　f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4

　　＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1

　　＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1

　　＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1)

　　＝17×3×52k＋1＋8×f(k)．

　　由归纳假设，f(k)能被17整除，17×3×52k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除．

　　由(1)和(2)可知，对任意n∈N*，f(n)都能被17整除．

　　[一点通]　证明整除性问题的关键是"凑项"，即f(k＋1)的式子中"凑"出f(k)的形式，常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f(k)．另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量．

　　2．求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.

　　证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．

　　(2)假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，

　　ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1

　　＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1

　　＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.

　　由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2＋a＋1整除，

　　故n＝k＋1时命题成立．

　　根据(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．

　　3．用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．

　　证明：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，

f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．