2019-2020学年人教B版选修2-1 椭圆及其标准方程 学案
2019-2020学年人教B版选修2-1               椭圆及其标准方程 学案第1页

椭圆及其标准方程(一)

学习目标 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.

知识点一 椭圆的定义

思考1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆?

答案 在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.

思考2 在上述画椭圆过程中,笔尖移动需满足哪些条件?如果改变这些条件,笔尖运动时形成的轨迹是否为椭圆?

答案 笔尖到两图钉的距离之和不变,等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化,即到两定点的距离不是定值,则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离,轨迹也不是椭圆.

梳理 (1)我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

(2)椭圆的定义用集合语言叙述为:

P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.

(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表:

条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在 知识点二 椭圆的标准方程

思考 若两定点A、B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程?

答案 以两定点的中点为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).设P(x,y),依题意得|PA|+|PB|=10, 所以+=10,即点P的轨迹方程为+=1.