2019-2020学年北师大版必修二 圆的方程 教案

典例精析

题型一　求圆的方程

【例1】求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.

【解析】方法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－，－)，

由已知得即

解得 D＝0，E＝－2，F＝－9，所求圆的方程为x2＋y2－2y－9＝0.

方法二：经过A(－1,4)，B(3,2)的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，

AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.

令x＝0，y＝1，圆心为(0,1)，r＝＝ ，

圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，则圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.

【变式训练1】已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.

【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①

将P、Q两点的坐标分别代入①得

令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④

由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的两根.

所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48，⑤

解②、③、⑤组成的方程组，得

D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－10，E＝－8，F＝4，

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.

题型二　与圆有关的最值问题

【例2】若实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.求：

(1)的最大值和最小值；

(2)y－x的最小值；

(3)(x－4)2＋(y－3)2的最大值和最小值.

【解析】(1)＝，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设＝k，y＝kx，kx－y＝0.