所以火箭熄火后约10.2 s向上速度变为0.
反思与感悟 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值.要求瞬时速度,可以先求平均速度.
思考3 火箭向上速度变为0,意味着什么?你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗?
答 火箭向上速度变为0,意味着火箭处于上升阶段的最高点处,即火箭达到了最大高度,由例1知火箭熄火后上升的时间为t=,所以火箭熄火后上升的最大高度h=100×-g×2=≈510.2(m).
跟踪训练1 质点M按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s).若质点M在t=2时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.
解 ∵Δs=s(2+Δt)-s(2)
=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2,
∴=4a+aΔt.在t=2时,瞬时速度为 =4a,
即4a=8,∴a=2.
探究点二 导数的定义
思考1 从平均速度当Δt→0时是瞬时速度,推广到一般的函数方面,我们可以得到什么结论?
答 对函数y=f(x)来说,f(x)在点x=x0附近改变Δx时,平均变化率为.
当Δx→0时,如果平均变化率趋于一个常数l,则l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率.
思考2 导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?
答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.
思考3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系?
答 若函数f(x)在区间(a,b)内可导,对(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f′(x),f′(x)就叫函数y=f(x)的导函数.
函数f(x)在点x=x0处的导数是导函数y=f′(x)在x=x0处的函数值.
例2 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数.
解 由导数的定义知,函数在x=2处的导数
f′(2)=,
而f(2+Δx)-f(2)