由

得交点A(2,2)，B(8，－4)，

则S＝[－(－)]dx＋[4－x－(－)]dx

＝＋

＝＋＝18.

方法二：S＝[(4－y)－]dy

＝＝18.

【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x＝φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.

【变式训练2】设k是一个正整数，(1＋)k的展开式中x3的系数为，则函数y＝x2与y＝kx－3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为　　　　.

【解析】Tr＋1＝C()r，令r＝3，得x3的系数为C＝，解得k＝4.由得函数y＝x2与y＝4x－3的图象的交点的横坐标分别为1,3.

所以阴影部分的面积为S＝(4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－＝.

题型三　定积分在物理中的应用

【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置；

(2)一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时阻力所做的功.

【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为

s＝v(t)dt＋(－v(t))dt

＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt

=＋＝2.

2秒末所在的位置为