∴|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜＋＋＝s，

∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s.

类型二　利用绝对值三角不等式求最值

例2　(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值；

(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求参数a的取值范围.

解　(1)方法一　 x－3|－|x＋1 ≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，

∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.

方法二　把函数看作分段函数，

y＝|x－3|－|x＋1|＝

∴－4≤y≤4，∴ymax＝4，ymin＝－4.

(2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，

则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，

而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，

当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立.

∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.

∴a的取值范围为(－∞，1].

反思与感悟　(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式.

(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.

跟踪训练2　(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；

(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.

解　(1)∵|f(x)|＝ x＋1|－|x－2 ≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，

∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.

(2)∵|x－3|＋|x＋1|≥|(x－3)－(x＋1)|＝4，

∴|x－3|＋|x＋1|≥4.