x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

　　例1　对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0.则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)

　　A．一定有零点　　　　　　B．一定没有零点

　　C．可能有两个零点 D．至多有一个零点

　　答案　C

　　解析　抛物线y＝f(x)的开口向上，与x轴可能有两个交点．

　　例2　设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求证：

　　(1)a>0且－3<<－；

　　(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；

　　(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则≤|x1－x2|<.

　　证明　(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0.

　　又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，

　　∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，

　　由3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b.

　　∵a>0，∴－3<<－.

　　(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，

　　①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0，

　　且f(1)＝－<0.

　　∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．

　　②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－<0，

　　且f(2)＝a－c>0.

　　∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．

　　综合①②得，f(x)在(0,2)内至少有一个零点．

　　(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，

　　则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．

　　∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－.

　　∴|x1－x2|＝

　　＝

　　＝.

　　∵－3<<－，∴≤|x1－x2|<.

　　　　　　　　 二、函数模型及其应用