∴当n≥2时,bn=f(bn-1)=·.

∴bnbn-1+3bn=3bn-1.

∴.

∴{}是首项为1、公差为的等差数列.

绿色通道

证明数列为等差、等比数列需紧扣定义,找到an+1与an之间的关系,由已知前n项和Sn,求出an=由已知条件逐步变形得到,从而得证.

变式训练

1.已知f(x)=,Pn(an,)在曲线y=f(x)上(n∈N+)且a1=1,an>0.

(1)求{an}的通项公式.

(2)数列{bn}的前n项和为Tn,且满足+16n2-8n-3.设定b1的值,使得数列{bn}是等差数列.

解:(1)由已知Pn在曲线y=f(x)上,

∴=.

∴=4.

∴{}是等差数列,

=1+4(n-1)=4n-3.

∵an>0,∴an=.

(2)∵=+16n2-8n-3=+(4n-3)(4n+1),

即(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1),