令f′(x)＝0，得x＝1.

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增加的；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是减少的．

所以x＝1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，

所以0

故

(2)当x≥1时，k≤恒成立，

令g(x)＝(x≥1)，

则g′(x)＝＝.

再令h(x)＝x－ln x(x≥1)，则h′(x)＝1－≥0，

所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，

所以g(x)是增加的，所以g(x)≥g(1)＝2，

故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]．

引申探究

本例(2)中若改为：存在x∈[1，e]，使不等式f(x)≥成立，求实数k的取值范围．

解　当x∈[1，e]时，k≤有解，

令g(x)＝(x∈[1，e])，由例(2)解题知，

g(x)是增加的，所以g(x)max＝g(e)＝2＋，

所以k≤2＋，即实数k的取值范围是.

思维升华 (1)利用导数证明不等式的方法

证明f(x)