则g′(x)＝

＝.

再令h(x)＝x－lnx(x≥1)，则h′(x)＝1－≥0，

所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，

所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，

故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2]．

引申探究

本例(2)中若改为：∃x0∈[1，e]，使不等式f(x0)≥成立，求实数k的取值范围．

解　当x∈[1，e]时，k≤有解，

令g(x)＝(x∈[1，e])，由例(2)解题知，

g(x)为单调增函数，所以g(x)max＝g(e)＝2＋，

所以k≤2＋，即实数k的取值范围是.

思维升华利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围．

(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax＋lnx，x∈[1，e]，若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．

解　∵f(x)≤0，即ax＋lnx≤0对x∈[1，e]恒成立，

∴a≤－，x∈[1，e]．

令g(x)＝－，x∈[1，e]，

则g′(x)＝，

∵x∈[1，e]，∴g′(x)≤0，

∴g(x)在[1，e]上单调递减，

∴g(x)min＝g(e)＝－，