例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不同的公共点；

(2)有且只有一个公共点．

考点　直线与椭圆的位置关系

题点　直线与椭圆的公共点个数问题

解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，

得方程组

消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.①

方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ>0，即－3

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

反思与感悟　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；

Δ＝0⇔直线与椭圆相切；

Δ<0⇔直线与椭圆相离．

特别提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系．

跟踪训练1　(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

考点　直线与椭圆的位置关系

题点　直线与椭圆的公共点个数问题

答案　A

解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆