三、巩固与提升 1、求的导数.
解:
【点评】
求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.
2、求的导数.
解:
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理.
3、求y =sin4x +cos 4x的导数.
【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1-sin22 x
=1-(1-cos 4 x)=+cos 4 x.y′=-sin 4 x.
【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′
=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x)
=-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.
4、曲线y =x(x +1)(2-x)有两条平行于直线y =x的切线,求此二切线之间的距离.
【解】y =-x 3 +x 2 +2 x y′=-3 x 2+2 x +2
令y′=1即3 x2-2 x -1=0,解得 x =-或x =1.
于是切点为P(1,2),Q(-,-),
过点P的切线方程为,y -2=x -1即 x -y +1=0.
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离,故所求距离为=.