1、求双曲线4x2－y2＝4的实轴长、虚轴长、焦点、顶点坐标、离心率和渐近线方程．

　　解　原方程可化为x2－＝1，

　　所以，a＝1，b＝2，c＝，

　　因此，双曲线的实轴长和虚轴长分别为2a＝2,2b＝4，两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的两个顶点是A1(－1,0)，A2(1,0)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±2x.

　　2、求以椭圆＋＝1的两个顶点为焦点，两个焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

　　解　∵椭圆＋＝1，∴，∴c1＝.

　　∴对双曲线，∴b2＝3，

　　∴双曲线方程：－＝1.

　　∴实轴长2a＝2，虚轴长2b＝6，离心率e＝，渐近线y＝±x.

　　3、求适合下列条件的双曲线的标准方程：

　　(1)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)；

　　(2)焦距是10，实轴长是虚轴长的2倍；

　　(3)过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线．

　　解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．

　　∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.

　　把点(－5,3)代入双曲线方程，得a2＝16.

　　∴所求双曲线的标准方程为－＝1.

　　(2)由题意得2c＝10,2a＝4b，即c＝5，a＝2b.

　　利用c2＝a2＋b2，解得a2＝20，b2＝5.

　　由于双曲线的焦点所在的轴不确定，故双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

　　(3)法一　当焦点在x轴上时，由于＝，

　　故可设方程为－＝1，代入点(2，－2)，

得b2＝－2(舍去)．