名师解惑

1.双曲线标准方程类型的确定

剖析：如果双曲线的焦点在坐标轴上,并且关于原点对称,那么双曲线的方程是标准的,否则不是标准的.求双曲线的标准方程就是确定a,b,并且判断焦点所在的坐标轴,确定方程类型是=1,还是=1(a>0,b>0).

2.求双曲线标准方程的常用方法

剖析：求双曲线标准方程的常用方法是待定系数法和定义法.若定义中"差的绝对值"中的绝对值去掉,点的集合成为双曲线的一支,先确定方程类型,再确定参数a,b,即先定型,再定量.若两种类型都有可能,则需分类讨论.

讲练互动

【例1】若一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a≥0),试讨论点P的轨迹方程.

解析：从题设条件看,P点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定义中的条件,|F1F2|>a.而题中|F1F2|=2,a与2的大小关系不确定,所以要确定点P的轨迹方程,首先要讨论a与2的大小关系.

答案：因为|F1F2|=2,

(1)当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x≥1)或y=0(x≤-1);

(2)当a=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程为x=0;

(3)当0

(4)当a>2时,轨迹不存在.

绿色通道

利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条件|F1F2|>2a,若条件中不能确定|F1F2|与2a的大小,需分类讨论.

变式训练

1.已知周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程.

答案:因为△PMN的周长为48,且tan∠PMN=.

所以设|PN|=3k,|PM|=4k(k>0),

则|MN|=5k,由3k+4k+5k=48,

得k=4,所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20,

以MN所在直线为x轴,以MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则2a=|PM|-|PN|=4,所以a=2,而c=10,所以b2=c2-a2=100-4=96.