题型二　向量的平行与垂直

例2　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

证明　(1)如图，建立空间直角坐标系，

设AC∩BD＝N，连接NE，

则点N，E的坐标分别为(，，0)，(0,0,1).

∴\s\up6(→(→)＝(－，－，1).

又点A，M的坐标分别是(，，0)，(，，1)，

∴\s\up6(→(→)＝(－，－，1).

∴\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→).

又NE与AM不共线，∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE，AM⊈平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知\s\up6(→(→)＝(－，－，1).

∵D(，0,0)，F(，，1)，

∴\s\up6(→(→)＝(0，，1)，∴\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，

∴\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→).

同理，\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→).

又DF∩BF＝F，且DF平面BDF，BF平面BDF，

∴AM⊥平面BDF.

反思与感悟　解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题.

跟踪训练2　在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.

求证：(1)平面GEF⊥PBC；

(2)EG⊥BC，PG⊥EG.