易知BM＝CM＝B1C＝，所以cos∠BMC＝＝.

所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.

(2)证明：连接AC，设AC与DE交于点N，因为＝＝，所以Rt△DCE∽Rt△CBA.从而∠CDE＝∠BCA.

又由于∠CDE＋∠CED＝90°，所以∠BCA＋∠CED＝90°.故AC⊥DE.

又因为CC1⊥DE且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACF.从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF.从而AF⊥B1C，所以AF⊥A1D.

因为DE∩A1D＝D，所以AF⊥平面A1ED.

(3)连接A1N，FN.由(2)可知DE⊥平面ACF.又NF⊂平面ACF，A1N⊂平面ACF，所以DE⊥NF，DE⊥A1N.故∠A1NF为二面角A1－ED－F的平面角.

易知Rt△CNE∽Rt△CBA，所以＝.又AC＝，所以CN＝.

在Rt△CNF中，NF＝＝.在Rt△A1AN中，A1N＝＝.

连接A1C1，A1F，在Rt△A1C1F中，A1F＝＝.

在△A1NF中，cos∠A1NF＝＝.

所以sin∠A1NF＝. 所以二面角A1－ED－F的正弦值为.

【点拨】本题主要考查异面直线所成的角，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查利用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.

【变式训练1】已知二面角α－a－β的大小为θ(＜θ＜π)，直线AB⊂α，CD⊂β，且AB⊥a，CD⊥a，若AB与CD所成的角为φ，则(　　)

A.φ＝0 B.φ＝θ－

C.φ＝θ＋ D.φ＝π－θ

【解析】选D.

题型二　求二面角

【例2】(2018北京模拟)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

(2)求证：CF⊥平面BDE；

(3)求二面角A－BE－D的大小.

【解析】(1)设AC与BD交于点G，连接EG.

因为EF∥AG，且EF＝1， AG＝AC＝1.

所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF∥EG.

因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，