2　巧用导数求极值

1．函数的极值点的判定方法

设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法是：(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．

2．极值常见题型详解

(1)利用导数求函数的极值

例1　求函数f(x)＝xln x的极值点．

解　f′(x)＝ln x＋1，x>0.

而f′(x)>0⇔ln x＋1>0⇔x>，

f′(x)<0⇔ln x＋1<0⇔0

所以f(x)在上是减少的，

在上是增加的．

所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．

点评　求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可．

(2)含参数的极值问题

例2　设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，讨论函数f(x)的单调区间和极值．

解　由已知，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－a＝.

①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增加的，无极值；

②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝.

当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增加的；