类型一　数列中的类比推理

例1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．

答案　　

解析　由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：

设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，

则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋...＋7＝bq28，

T12＝bq1＋2＋...＋11＝bq66，

T16＝bq1＋2＋...＋15＝bq120，

∴＝bq22，＝bq38，

＝bq54，

即()2＝·T4，()2＝·，

故T4，，，成等比数列．

反思与感悟　已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：

等差数列 等比数列 定义 an－an－1＝d(n≥2) an÷an－1＝q(n≥2) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 性质 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq

跟踪训练1　若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列．

答案　

解析　数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差数列．